Naar inhoud springen

Meetkundige reeks

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Een meetkundige reeks in de wiskunde is een reeks waarvan elke term kan worden gevonden door de daaraan voorafgaande term te vermenigvuldigen met een factor . De termen van de reeks vormen dus een meetkundige rij.

De algemene vorm van de -de partieelsom (of -de partiële som; dat is de som van de eerste termen van de reeks) is:

behalve als is, want dan is de som gelijk aan .

Bovenstaande relatie kan als volgt worden aangetoond.

De -de partieelsom is:

En dus geldt ook, door beide leden met te vermenigvuldigen:

Aftrekking van de linker- en rechterleden van de laatste twee vergelijkingen geeft:

zodat:

Als de gehele reeks wordt beschouwd, dus met oneindig veel termen en met , dan is de reeks convergent. Gevolg:

Immers, indien is, dan gaat de term in de teller van -de partieelsom naar nul als naar oneindig gaat.

Als is, dan is de reeks divergent.

De formules gelden ook met complexe getallen en .

Zowel het bewijs van het kenmerk van d'Alembert als van het kenmerk van Cauchy is gebaseerd op de convergentie-eigenschap van meetkundige reeksen. In beide gevallen wordt de te onderzoeken reeks vergeleken met een meetkundige reeks.